566. От прямоугольного листа картона длиной 26 см отрезали с двух сторон квадраты, сторона каждого из которых равна ширине листа. Площадь оставшейся части равна 80 см². Найдите ширину листа картона. Покажите, что задача имеет два решения, и для каждого случая сделайте чертёж (в масштабе 1 : 2).

Обозначим ширину листа через \(x\) см. После отрезания двух квадратов длиной \(x\) см каждый длина оставшейся части равна \(26-2x\) см.

По условию площадь оставшейся прямоугольной части равна 80 см²:

\(x(26-2x)=80\).

Раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду:

\(26x-2x^2=80\),
\(x^2-13x+40=0\),
\((x-5)(x-8)=0\).

Значит, \(x=5\) или \(x=8\). Оба значения подходят: при каждом ширина меньше половины длины листа, поэтому с двух сторон можно отрезать квадраты.

На чертежах длина листа 26 см показана отрезком 13 см. Каждая из остальных размеров также уменьшена вдвое.

Случай 1: ширина листа 5 см. Оставшаяся часть имеет размеры 16 см × 5 см.

Случай 2: ширина листа 8 см. Оставшаяся часть имеет размеры 10 см × 8 см.

Ответ: ширина листа — 5 см или 8 см.