568. Докажите, что при любом натуральном k: а) число 3⁴ᵏ оканчивается единицей; б) число 10ᵏ − 1 кратно 3.

а) Так как \(3^4=81\), то \(3^{4k}=(3^4)^k=81^k\). Последняя цифра числа \(81^k\) равна 1, следовательно, число \(3^{4k}\) оканчивается единицей.

б) Представим \(10^k-1\) как разность степеней: \(10^k-1^k=(10-1)(10^{k-1}+10^{k-2}+\dots+10+1)=9(10^{k-1}+10^{k-2}+\dots+1)\). Поэтому \(10^k-1\) кратно 9, а значит, и 3.

Ответ: утверждения доказаны.