57. Проведите классификацию элементов множества A по остаткам от их деления на b: а) A = {−10; −7; −1; 0; 3; 8; 14; 20}, b = 4; б) A = {−8; −4; 0; 5; 9; 11; 16}, b = 3. Проверьте, что каждый элемент множества A попал ровно в один класс.

Для отрицательных чисел используем остатки от 0 до b − 1.

а) При делении на 4:

• остаток 0: {0; 8; 20};
• остаток 1: {−7};
• остаток 2: {−10; 14};
• остаток 3: {−1; 3}.

Проверка: −10 = 4 · (−3) + 2; −7 = 4 · (−2) + 1; −1 = 4 · (−1) + 3; 0 = 4 · 0 + 0; 3 = 4 · 0 + 3; 8 = 4 · 2 + 0; 14 = 4 · 3 + 2; 20 = 4 · 5 + 0.

б) При делении на 3:

• остаток 0: {−?}
• остаток 1: {−8; −4; 5; 11};
• остаток 2: {−?}

Уточним остатки: −8 = 3 · (−3) + 1; −4 = 3 · (−2) + 2; 0 = 3 · 0 + 0; 5 = 3 · 1 + 2; 9 = 3 · 3 + 0; 11 = 3 · 3 + 2; 16 = 3 · 5 + 1.

• остаток 0: {0; 9};
• остаток 1: {−8; 16};
• остаток 2: {−4; 5; 11}.

В каждой части каждый элемент исходного множества встречается ровно один раз: остаток при делении на заданное число единственный.

Ответ: классификации приведены по остаткам; каждый элемент обоих множеств попал ровно в один класс.