574. Докажите, что: а) h = ab/c; б) a²/a_c = b²/b_c.

Обозначим катеты прямоугольного треугольника через \(a\) и \(b\), гипотенузу — через \(c\), высоту к гипотенузе — через \(h\), а проекции катетов на гипотенузу — через \(a_c\) и \(b_c\).

а) Площадь треугольника можно вычислить двумя способами:

\[S=\frac{ab}{2}\quad\text{и}\quad S=\frac{ch}{2}.\]

Приравняем выражения для площади:

\[\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}.\]

Умножим обе части на 2 и разделим на \(c\):

\[h=\frac{ab}{c}.\]

б) По теореме о катете и его проекции:

\[a^2=ca_c,\qquad b^2=cb_c.\]

Разделим первое равенство на \(a_c\), а второе — на \(b_c\):

\[\frac{a^2}{a_c}=c,\qquad \frac{b^2}{b_c}=c.\]

Следовательно, обе дроби равны одному и тому же числу \(c\):

\[\frac{a^2}{a_c}=\frac{b^2}{b_c}.\]

Что и требовалось доказать.