593 Найдите: а) sin α и tg α, если cos α = 1/2; б) sin α и tg α, если cos α = 2/3; в) cos α и tg α, если sin α = 1/4.

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) и определением тангенса: \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).

а) cos α = 1/2

1. Найдем \( \sin \alpha \): \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4 \). \( \sin \alpha = \pm \sqrt{3/4} = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \).
2. Найдем \( \text{tg} \alpha \): \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\pm \sqrt{3}/2}{1/2} = \pm \sqrt{3} \).

б) cos α = 2/3

1. Найдем \( \sin \alpha \): \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (2/3)^2 = 1 - 4/9 = 5/9 \). \( \sin \alpha = \pm \sqrt{5/9} = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \).
2. Найдем \( \text{tg} \alpha \): \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\pm \sqrt{5}/3}{2/3} = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \).

в) sin α = 1/4

1. Найдем \( \cos \alpha \): \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (1/4)^2 = 1 - 1/16 = 15/16 \). \( \cos \alpha = \pm \sqrt{15/16} = \pm \frac{\sqrt{15}}{4} \).
2. Найдем \( \text{tg} \alpha \): \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1/4}{\pm \sqrt{15}/4} = \pm \frac{1}{\sqrt{15}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{15} \).

Ответ: а) \( \sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \), \( \text{tg} \alpha = \pm \sqrt{3} \); б) \( \sin \alpha = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \), \( \text{tg} \alpha = \pm \frac{\sqrt{5}}{2} \); в) \( \cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{15}}{4} \), \( \text{tg} \alpha = \pm \frac{\sqrt{15}}{15} \).