6.155. г) Решите систему неравенств: \( \begin{cases} \frac{2x+1}{3} - 3 < x - \frac{3-2x}{5} \\ \frac{x}{3} - \frac{7}{6} < \frac{5x}{3} - \frac{11}{6} \end{cases} \)

Решение:

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые в каждом неравенстве.

Первое неравенство:

\( \frac{2x+1}{3} - 3 < x - \frac{3-2x}{5} \)

Приведём к общему знаменателю 15:

\( \frac{5(2x+1)}{15} - \frac{45}{15} < \frac{15x}{15} - \frac{3(3-2x)}{15} \)

Умножим обе части на 15:

\( 5(2x+1) - 45 < 15x - 3(3-2x) \)

\( 10x + 5 - 45 < 15x - 9 + 6x \)

\( 10x - 40 < 21x - 9 \)

\( -40 + 9 < 21x - 10x \)

\( -31 < 11x \)

\( x > -\frac{31}{11} \)

Второе неравенство:

\( \frac{x}{3} - \frac{7}{6} < \frac{5x}{3} - \frac{11}{6} \)

Приведём к общему знаменателю 6:

\( \frac{2x}{6} - \frac{7}{6} < \frac{10x}{6} - \frac{11}{6} \)

Умножим обе части на 6:

\( 2x - 7 < 10x - 11 \)

\( -7 + 11 < 10x - 2x \)

\( 4 < 8x \)

\( x > \frac{4}{8} \)

\( x > \frac{1}{2} \)

Объединение решений:

Получили два неравенства: \( x > -\frac{31}{11} \) и \( x > \frac{1}{2} \).

Так как \( -\frac{31}{11} \approx -2.81 \), а \( \frac{1}{2} = 0.5 \), то \( 0.5 > -2.81 \). Следовательно, общим решением будет \( x > \frac{1}{2} \).

Ответ: \( x > \frac{1}{2} \).