6. (2 балла) Компланарны ли векторы: а {-1; 2; 3}, i + j и i - k

Решение:

Для проверки компланарности векторов в трёхмерном пространстве, мы можем вычислить их смешанное произведение. Если смешанное произведение равно нулю, то векторы компланарны.

Заданные векторы:

• \( \vec{a} = \{-1; 2; 3\} \)
• \( \vec{b} = \vec{i} + \vec{j} = \{1; 1; 0\} \)
• \( \vec{c} = \vec{i} - \vec{k} = \{1; 0; -1\} \)

Смешанное произведение векторов \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) можно найти как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов:

\[ (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c} = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} \]

Вычислим определитель:

\[ \begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = -1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} + 3 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \]

\[ = -1 \cdot (1 \cdot (-1) - 0 \cdot 0) - 2 \cdot (1 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) + 3 \cdot (1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) \]

\[ = -1 \cdot (-1) - 2 \cdot (-1) + 3 \cdot (-1) \]

\[ = 1 + 2 - 3 = 0 \]

Так как смешанное произведение равно нулю, векторы \( \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} \) компланарны.

Ответ: Да, векторы компланарны.