6. (3 балла) Три прямые AB, CD, MN пересекаются в точке O (рис. 3). Докажите, что CD ⊥ MN, если: 1) ∠COM = ∠AOC + ∠MOB; 2) ∠AOM = 135°, OB — биссектриса угла MOD.

Решение:

1) Доказательство, что CD ⊥ MN, если ∠COM = ∠AOC + ∠MOB:

Прямые AB и CD пересекаются в точке O. Углы AOC и COB — смежные, поэтому \( ∠ AOC + ∠ COB = 180^\circ \).

Углы COM и MOB — смежные, поэтому \( ∠ COM + ∠ MOB = 180^\circ \).

Углы AOC и MOB — вертикальные, поэтому \( ∠ AOC = ∠ MOB \).

Углы COB и MOD — вертикальные, поэтому \( ∠ COB = ∠ MOD \).

По условию, \( ∠ COM = ∠ AOC + ∠ MOB \).

Так как \( ∠ AOC = ∠ MOB \), то \( ∠ COM = 2 ∠ AOC \).

Из \( ∠ AOC + ∠ COB = 180^\circ \) и \( ∠ COM + ∠ MOB = 180^\circ \), подставим \( ∠ MOB = ∠ AOC \): \( ∠ COM + ∠ AOC = 180^\circ \).

Из условия \( ∠ COM = 2 ∠ AOC \), подставим в предыдущее уравнение: \( 2 ∠ AOC + ∠ AOC = 180^\circ \).

\( 3 ∠ AOC = 180^\circ \).

\( ∠ AOC = 60^\circ \).

Тогда \( ∠ MOB = 60^\circ \).

\( ∠ COM = 2 ∠ AOC = 2 ∠ 60^\circ = 120^\circ \).

\( ∠ COB = 180^\circ - ∠ AOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

Так как \( ∠ COB = ∠ COM + ∠ MOB = 120^\circ \), это противоречит условию \( ∠ COM = ∠ AOC + ∠ MOB \).

Пересмотрим условие. Возможно, имеется в виду, что точки A, C, N лежат на одной прямой, а M, O, D лежат на другой. Тогда AB, CD, MN - прямые.

Углы AOC и MOB — вертикальные, т.е. \( ∠ AOC = ∠ MOB \).

Углы COM и AOD — вертикальные, т.е. \( ∠ COM = ∠ AOD \).

Углы COB и MOD — вертикальные, т.е. \( ∠ COB = ∠ MOD \).

Углы AOC и COB — смежные, \( ∠ AOC + ∠ COB = 180^\circ \).

Углы COM и MOB — смежные, \( ∠ COM + ∠ MOB = 180^\circ \).

По условию 1: \( ∠ COM = ∠ AOC + ∠ MOB \).

Так как \( ∠ AOC = ∠ MOB \), то \( ∠ COM = 2 ∠ AOC \).

Из \( ∠ COM + ∠ MOB = 180^\circ \), подставляем \( ∠ MOB = ∠ AOC \): \( ∠ COM + ∠ AOC = 180^\circ \).

Подставляем \( ∠ COM = 2 ∠ AOC \): \( 2 ∠ AOC + ∠ AOC = 180^\circ \).

\( 3 ∠ AOC = 180^\circ \).

\( ∠ AOC = 60^\circ \).

Тогда \( ∠ MOB = 60^\circ \).

\( ∠ COM = 2 ∠ AOC = 120^\circ \).

\( ∠ COB = 180^\circ - ∠ AOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \).

\( ∠ MOD = ∠ COB = 120^\circ \).

Условие \( ∠ COM = ∠ AOC + ∠ MOB \) выполняется: \( 120^\circ = 60^\circ + 60^\circ \).

Из \( ∠ COB = 120^\circ \) и \( ∠ MOD = 120^\circ \). Это не означает, что CD ⊥ MN.

2) Доказательство, что CD ⊥ MN, если ∠AOM = 135°, OB — биссектриса угла MOD:

OB — биссектриса угла MOD, значит \( ∠ MOB = ∠ BOD = ∠ MOD / 2 \).

Углы AOM и BOD — вертикальные, следовательно \( ∠ AOM = ∠ BOD \).

По условию, \( ∠ AOM = 135^\circ \).

Значит, \( ∠ BOD = 135^\circ \).

Так как OB — биссектриса \( ∠ MOD \), то \( ∠ MOD = 2 ∠ BOD = 2 ∠ 135^\circ = 270^\circ \). Это невозможно, так как угол MOD меньше 180°.

Пересмотрим условие 2. Предположим, что \( ∠ AOM = 135^\circ \) и OB — биссектриса угла MOD.

Углы AOM и BOD — вертикальные, значит \( ∠ BOD = ∠ AOM = 135^\circ \). Это невозможно, так как BOD является частью развернутого угла.

Возможно, \( ∠ AOM = 135^\circ \) — это тупой угол.

Углы AOM и MOB — смежные, \( ∠ AOM + ∠ MOB = 180^\circ \).

\( 135^\circ + ∠ MOB = 180^\circ \).

\( ∠ MOB = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \).

OB — биссектриса угла MOD, значит \( ∠ MOB = ∠ BOD = 45^\circ \).

Угол MOD = \( ∠ MOB + ∠ BOD = 45^\circ + 45^\circ = 90^\circ \).

Так как \( ∠ MOD = 90^\circ \), то прямые CD и MN перпендикулярны (MN - это прямая, проходящая через M, O, N).

Ответ: 2) CD ⊥ MN, так как \( ∠ MOD = 90^\circ \).