6). \(4\frac{1}{2} + 2x\) \(\cdot\) \(\frac{3}{4}\) = 11\(\frac{1}{15}\)

Решение:

1. Чтобы решить уравнение \( (4\frac{1}{2} + 2x) \cdot \frac{3}{4} = 11\frac{1}{15} \), сначала умножим обе части на \( \frac{4}{3} \):
   \( 4\frac{1}{2} + 2x = 11\frac{1}{15} \cdot \frac{4}{3} \)
   \( 4\frac{1}{2} + 2x = \frac{11 \cdot 15 + 1}{15} \cdot \frac{4}{3} \)
   \( 4\frac{1}{2} + 2x = \frac{166}{15} \cdot \frac{4}{3} \)
   \( 4\frac{1}{2} + 2x = \frac{166 \cdot 4}{15 \cdot 3} \)
   \( 4\frac{1}{2} + 2x = \frac{664}{45} \)
2. Представим смешанное число \( 4\frac{1}{2} \) в виде неправильной дроби:
   \( 4\frac{1}{2} = \frac{4 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{9}{2} \)
3. Теперь уравнение выглядит так:
   \( \frac{9}{2} + 2x = \frac{664}{45} \)
4. Вычтем \( \frac{9}{2} \) из обеих частей:
   \( 2x = \frac{664}{45} - \frac{9}{2} \)
5. Приведём дроби к общему знаменателю 90:
   \( 2x = \frac{664 \cdot 2}{45 \cdot 2} - \frac{9 \cdot 45}{2 \cdot 45} \)
   \( 2x = \frac{1328}{90} - \frac{405}{90} \)
   \( 2x = \frac{1328 - 405}{90} \)
   \( 2x = \frac{923}{90} \)
6. Чтобы найти \( x \), разделим \( \frac{923}{90} \) на 2:
   \( x = \frac{923}{90 \cdot 2} \)
   \( x = \frac{923}{180} \)
7. Представим в виде смешанного числа:
   \( x = 5 \frac{23}{180} \)

Ответ: x = \(\frac{923}{180}\) или \( 5\frac{23}{180} \).