6.54. Постройте треугольник ABC с вершинами A(3; 5), B(3; −2), C(−5; −2). а) Убедитесь по рисунку, что он прямоугольный, назовите перпендикулярные отрезки. б) Соедините отрезками середины K, M и N сторон AC, BC и AB. Проверьте, что длины сторон треугольника KMN пропорциональны длинам сторон треугольника ABC.

а) У точек A и B одинаковая абсцисса, поэтому AB — вертикальный отрезок. У точек B и C одинаковая ордината, поэтому BC — горизонтальный отрезок. Следовательно, AB ⟂ BC, и угол ABC прямой.

б) Координаты середин сторон:

• K — середина AC: K((3 + (−5))/2; (5 + (−2))/2) = K(−1; 1.5).
• M — середина BC: M((3 + (−5))/2; (−2 + (−2))/2) = M(−1; −2).
• N — середина AB: N((3 + 3)/2; (5 + (−2))/2) = N(3; 1.5).

Длины сторон исходного треугольника: AB = 7, BC = 8, AC = √((3 − (−5))² + (5 − (−2))²) = √113.

В треугольнике серединных точек KM = AB/2 = 3.5, KN = BC/2 = 4, MN = AC/2 = √113/2. Значит, соответствующие стороны пропорциональны с коэффициентом 1/2: KM/AB = KN/BC = MN/AC = 1/2.

Ответ: AB ⟂ BC; стороны KMN равны половинам соответствующих сторон ABC.