6.7. Вычислите: а) \(\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)+\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)+\sin\frac{\pi}{4}\cdot\cos\frac{\pi}{2}\); б) \(\cos\frac{5\pi}{3}+\cos\frac{4\pi}{3}+\sin\frac{3\pi}{2}\cdot\sin\frac{5\pi}{8}\cdot\cos\frac{3\pi}{2}\); в) \( g\frac{\pi}{6}-\ctg\frac{\pi}{6}\); г) \( g\frac{9\pi}{4}+\ctg\frac{\pi}{4}\).

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) \(\sin\left(-\frac{3\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}\), \(\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}\), а \(\cos\frac{\pi}{2}=0\). Поэтому сумма равна \(-\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}+0=0\).
б) \(\cos\frac{5\pi}{3}=\frac12\), \(\cos\frac{4\pi}{3}=-\frac12\), и \(\cos\frac{3\pi}{2}=0\). Значит, выражение равно \(\frac12-\frac12+0=0\).
в) \( g\frac{\pi}{6}=\frac{1}{\sqrt3}\), \(\ctg\frac{\pi}{6}=\sqrt3\). Тогда \(\frac{1}{\sqrt3}-\sqrt3=-\frac{2}{\sqrt3}=-\frac{2\sqrt3}{3}\).
г) По периодичности тангенса \( g\frac{9\pi}{4}= g\frac{\pi}{4}=1\), а \(\ctg\frac{\pi}{4}=1\). Сумма равна \(2\).

Ответ: а) 0; б) 0; в) \(-\frac{2\sqrt3}{3}\); г) 2.