6) ABCD — прямоугольник. Найти: AD. AB = 4 см, ∠AED = 75°, ∠CED = 60°.

Дано: ABCD — прямоугольник, AB = 4 см, ∠AED = 75°, ∠CED = 60°. Найти AD.

1. В прямоугольнике CD = AB = 4 см, а ∠ECD = 90°. В прямоугольном треугольнике ECD угол E равен 60°, поэтому \(\sin 60^\circ=\frac{CD}{ED}\).
2. Отсюда \(ED=\frac{4}{\sin 60^\circ}=\frac{8}{\sqrt{3}}\) см.
3. Так как EC и BC лежат на одной прямой, угол между ED и горизонталью равен 60°. Следовательно, угол между ED и DA также равен 60°, то есть ∠EDA = 60°.
4. В треугольнике AED: \(\angle EAD=180^\circ-75^\circ-60^\circ=45^\circ\).
5. По теореме синусов: \(\frac{AD}{\sin 75^\circ}=\frac{ED}{\sin 45^\circ}\). Поэтому \(AD=\frac{8}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sin 75^\circ}{\sin 45^\circ}=\frac{4(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}}\) см.

Ответ: \(AD=\frac{4(\sqrt{3}+1)}{\sqrt{3}}\) см ≈ 6,93 см.