6) ABCD — прямоугольник. Найти: AD. На рисунке E лежит на BC, ED = 6 см, ∠AED = 75°; отметки показывают, что ∠BAE = ∠AEB.

Так как ABCD — прямоугольник, \(\angle ABE=90^\circ\). По отметкам \(\angle BAE=\angle AEB\), поэтому оба угла равны 45°. Значит, прямоугольный треугольник ABE равнобедренный и \(BE=AB\).

Точки B, E и C лежат на одной прямой, поэтому \(\angle AEB+\angle AED+\angle DEC=180^\circ\). Отсюда \(\angle DEC=180^\circ-45^\circ-75^\circ=60^\circ\).

В прямоугольном треугольнике ECD гипотенуза ED равна 6 см, а угол E равен 60°. Следовательно, \(EC=6\cos60^\circ=3\) см и \(CD=6\sin60^\circ=3\sqrt3\) см.

Так как в прямоугольнике \(AB=CD\), получаем \(BE=3\sqrt3\) см. Тогда \(AD=BC=BE+EC=3\sqrt3+3\) см.

Ответ: \(AD=3+3\sqrt3\) см.