6. AD = BC, AB||DC, r—?

Решение:

На чертеже изображена равнобедренная трапеция ABCD, в которую вписана окружность. Основание AB = 4, основание DC = 16. Боковые стороны AD = BC. В описанную трапецию можно вписать окружность, если сумма боковых сторон равна сумме оснований: AD + BC = AB + DC. Так как AD = BC, то 2AD = AB + DC. 2AD = 4 + 16 = 20. AD = 10. Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции. Высоту можно найти, проведя перпендикуляры из вершин A и B к основанию DC. Образуются два прямоугольных треугольника. В одном из них катеты равны высоте (h) и \( \frac{DC-AB}{2} = \frac{16-4}{2} = \frac{12}{2} = 6 \). Гипотенуза равна боковой стороне AD = 10. По теореме Пифагора: \( h^2 + 6^2 = 10^2 \). \( h^2 + 36 = 100 \). \( h^2 = 100 - 36 = 64 \). \( h = \sqrt{64} = 8 \). Радиус вписанной окружности \( r = \frac{h}{2} = \frac{8}{2} = 4 \).

Ответ: r = 4.