Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: №6. Биссектриса угла В параллелограмма ABCD пересекает сторону АД в точке К. Найдите периметр параллелограмма, если АК =…Фото задания

Ответ:

Решение:

  1. Дано: ABCD — параллелограмм. BK — биссектриса \( ∠ B \). K лежит на AD. \( AK = 14 \), \( KD = 8 \).
  2. Найти: Периметр параллелограмма ABCD.
  3. Так как ABCD — параллелограмм, то AD || BC и AB || DC.
  4. Также противоположные стороны равны: \( AD = BC \) и \( AB = DC \).
  5. Биссектриса BK делит угол B пополам. \( ∠ ABK = ∠ KBC \).
  6. Рассмотрим стороны AD и BC как параллельные, а BK как секущую. Тогда \( ∠ ABK = ∠ BKC \) (накрест лежащие углы).
  7. Значит, \( ∠ KBC = ∠ BKC \).
  8. В треугольнике BCK углы при основании BK равны, следовательно, треугольник BCK — равнобедренный.
  9. Поэтому \( BC = KC \).
  10. Теперь рассмотрим стороны AB и DC как параллельные, и BK как секущую.
  11. \( ∠ ABK = ∠ BKD \) (накрест лежащие углы).
  12. Из равенства \( ∠ ABK = ∠ KBC \) и \( ∠ ABK = ∠ BKD \), следует \( ∠ KBC = ∠ BKD \).
  13. В треугольнике BKD углы \( ∠ KBC \) и \( ∠ BKD \) не связаны напрямую.
  14. Вернемся к тому, что ABCD — параллелограмм. Угол B и угол A в сумме дают 180 градусов.
  15. Рассмотрим биссектрису BK. \( ∠ ABK + ∠ KBC = ∠ ABC \).
  16. Учитывая, что BK — биссектриса, \( ∠ ABK = ∠ KBC \).
  17. Также, так как AD || BC, то \( ∠ ABK = ∠ BKC \) (накрест лежащие).
  18. Следовательно, \( ∠ KBC = ∠ BKC \).
  19. Это означает, что треугольник BCK равнобедренный, и \( BC = KC \).
  20. Теперь рассмотрим \( ∠ ABK \) и \( ∠ BKA \).
  21. Так как AB || DK, и BK — секущая, то \( ∠ ABK = ∠ BKA \) (накрест лежащие углы).
  22. Мы знаем, что BK — биссектриса, то есть \( ∠ ABK = ∠ KBC \).
  23. Из равенства \( ∠ ABK = ∠ BKA \) и \( ∠ ABK = ∠ KBC \) следует, что \( ∠ BKA = ∠ KBC \).
  24. Это не помогает нам найти равенство сторон.
  25. Давайте использовать тот факт, что AB || KD.
  26. Рассмотрим биссектрису BK. Углы \( ∠ ABK \) и \( ∠ KBC \) равны.
  27. Так как AB || DK, то \( ∠ ABK = ∠ BKD \) (накрест лежащие).
  28. Значит, \( ∠ KBC = ∠ BKD \).
  29. В треугольнике BKD, \( ∠ KBC \) и \( ∠ KBD \) — это один и тот же угол.
  30. Рассмотрим треугольник ABK. \( ∠ BAK + ∠ ABK + ∠ BKA = 180^ \).
  31. Нам дано, что BK — биссектриса, поэтому \( ∠ ABK = ∠ KBC \).
  32. Также, поскольку AD || BC, то \( ∠ ABK = ∠ BKC \) (накрест лежащие).
  33. Из этого следует, что \( ∠ KBC = ∠ BKC \).
  34. Следовательно, треугольник BCK равнобедренный, и \( BC = KC \).
  35. Теперь посмотрим на треугольник ABK. Так как AB || DK, то \( ∠ ABK = ∠ BKA \) (накрест лежащие).
  36. Поскольку BK — биссектриса, \( ∠ ABK = ∠ KBC \).
  37. Значит, \( ∠ BKA = ∠ KBC \).
  38. Нам нужно найти периметр параллелограмма. Периметр P = 2(AB + AD).
  39. Нам дано \( AD = AK + KD = 14 + 8 = 22 \).
  40. Значит, \( BC = 22 \).
  41. Из равенства \( ∠ ABK = ∠ BKA \) следует, что треугольник ABK равнобедренный, и \( AB = AK \).
  42. \( AB = 14 \).
  43. Тогда \( DC = AB = 14 \).
  44. Периметр параллелограмма: \( P = 2(AB + AD) = 2(14 + 22) \).
  45. \( P = 2(36) \).
  46. \( P = 72 \).

Ответ: 72