6. Биссектрисы углов В и С треугольника АВС пересекаются в точке К. Найдите ∠ВКС, если ∠B = 40°, а ∠C=80°.

Решение:

В треугольнике ABC сумма углов равна 180°. Найдем угол A:

\( ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180^\circ \)

\( ∠ A + 40^\circ + 80^\circ = 180^\circ \)

\( ∠ A + 120^\circ = 180^\circ \)

\( ∠ A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \)

BK — биссектриса угла B, поэтому \( ∠ KBC = ∠ B / 2 = 40^\circ / 2 = 20^\circ \).

CK — биссектриса угла C, поэтому \( ∠ KCB = ∠ C / 2 = 80^\circ / 2 = 40^\circ \).

Теперь рассмотрим треугольник BKC. Сумма его углов равна 180°:

\( ∠ BKC + ∠ KBC + ∠ KCB = 180^\circ \)

\( ∠ BKC + 20^\circ + 40^\circ = 180^\circ \)

\( ∠ BKC + 60^\circ = 180^\circ \)

\( ∠ BKC = 180^\circ - 60^\circ \)

\( ∠ BKC = 120^\circ \)

Ответ: 120°.