6. Дано: (а - в) · с =0, (в - с) · а = 0. Докажите, что (с - а) · b = 0.

Решение:

Нам дано:

1. \( (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c} = 0 \)
2. \( (\vec{b} - \vec{c}) \cdot \vec{a} = 0 \)

Нужно доказать, что \( (\vec{c} - \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0 \).

Раскроем первое данное условие:

\( \vec{a} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{c} = 0 \)

Отсюда следует, что \( \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} \).

Раскроем второе данное условие:

\( \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{c} \cdot \vec{a} = 0 \)

Отсюда следует, что \( \vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{a} \).

Теперь рассмотрим, что нам нужно доказать:

\( (\vec{c} - \vec{a}) \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b} \)

Из первого условия мы знаем, что \( \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} \).

Из второго условия мы знаем, что \( \vec{b} \cdot \vec{a} = \vec{c} \cdot \vec{a} \).

Давайте перепишем второе условие:

\( \vec{a} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{c} = 0 \)

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} \).

Теперь у нас есть:

\( \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c} \) (из 1)

\( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{c} \) (из 2)

Следовательно, \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} \).

Нам нужно доказать, что \( \vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \). Это эквивалентно \( \vec{c} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot \vec{b} \).

Мы уже установили, что \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c} \) (что то же самое, что \( \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{b} \)).

Таким образом, \( \vec{c} \cdot \vec{b} - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \).

Ответ: Доказано.