6. Дано: ABCD — трапеция, BC ∥ AD, BC = 3, ED = 4, ∠A = 60°, ∠D = 45°, BE ⟂ AD, CE ⟂ AD. Найти: AD, S_ABCD.

Опустим высоты BE и CE на основание AD. Так как BC ∥ AD, отрезок FE равен верхнему основанию:

\(FE=BC=3\).

В прямоугольном треугольнике CED угол D равен 45°, поэтому:

\(CE=ED\cdot\tan45^\circ=4\cdot1=4\).

Высота трапеции равна 4.

В прямоугольном треугольнике ABF:

\(AF=BF\cdot\cot60^\circ=4\cdot\frac{1}{\sqrt3}=\frac{4\sqrt3}{3}\).

Нижнее основание:

\(AD=AF+FE+ED=\frac{4\sqrt3}{3}+3+4=7+\frac{4\sqrt3}{3}\).

Площадь трапеции:

\[S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot h=\frac{3+7+\frac{4\sqrt3}{3}}{2}\cdot4=20+\frac{8\sqrt3}{3}.\]

Ответ: \(AD=7+\frac{4\sqrt3}{3}\), \(S_{ABCD}=20+\frac{8\sqrt3}{3}\).