6. Даны координаты трех вершин прямоугольника ABCD: A (-2;-3), B (-2;5) и С(4;5).

Решение:

1. Начертите этот прямоугольник.

Для построения прямоугольника на координатной плоскости отметим точки A(-2;-3), B(-2;5), C(4;5).

2. Найдите координаты вершины D.

Так как ABCD — прямоугольник, то сторона AD параллельна BC, и сторона CD параллельна AB. Также AD перпендикулярна AB, а CD перпендикулярна BC.

Координаты вектора AB: \( \vec{AB} = (-2 - (-2), 5 - (-3)) = (0, 8) \).

Координаты вектора BC: \( \vec{BC} = (4 - (-2), 5 - 5) = (6, 0) \).

Для нахождения координаты точки D, используем свойство параллельности векторов или параллельности сторон прямоугольника.

Координаты точки D можно найти, сложив координаты точки A и вектора BC (так как $$\vec{AD} = \vec{BC}$$):

\( D_x = A_x + BC_x = -2 + 6 = 4 \)

\( D_y = A_y + BC_y = -3 + 0 = -3 \)

Таким образом, координаты вершины D: (4;-3).

3. Найдите координаты точки пересечения диагоналей прямоугольника.

Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой любой из диагоналей (например, AC).

Середина диагонали AC находится по формуле: \( M = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) \).

\( M_x = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

\( M_y = \frac{-3 + 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)

Координаты точки пересечения диагоналей: (1;1).

4. Вычислите площадь и периметр прямоугольника, считая, что длина единичного отрезка координатных осей равна 1 см.

Длина стороны AB: \( |AB| = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (5 - (-3))^2} = \sqrt{0^2 + 8^2} = 8 \) см.

Длина стороны BC: \( |BC| = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (5 - 5)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = 6 \) см.

Площадь прямоугольника: \( S = |AB| \cdot |BC| = 8 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 48 \text{ см}^2 \).

Периметр прямоугольника: \( P = 2(|AB| + |BC|) = 2(8 \text{ см} + 6 \text{ см}) = 2(14 \text{ см}) = 28 \text{ см} \).

Ответ: 1) Координаты вершины D: (4;-3). 2) Координаты точки пересечения диагоналей: (1;1). 3) Площадь прямоугольника: 48 см², Периметр прямоугольника: 28 см.