6. Диагонали трапеции ABCD являются биссектрисами её углов при большем основании AD. 1) Докажите, что трапеция ABCD — равнобедренная. 2) Докажите, что △AOD — равнобедренный (O — точка пересечения диагоналей).

Пусть AD ∥ BC, причём AD — большее основание. Диагональ AC делит угол DAB пополам, а BD делит угол ADC пополам.

1. Обозначим ∠DAC = ∠CAB = α. Так как AD ∥ BC, накрест лежащие углы ∠DAC и ∠ACB равны, значит ∠ACB = α. Поэтому в △ABC равны углы при A и C, откуда AB = BC.
2. Обозначим ∠ADB = ∠BDC = β. Из AD ∥ BC следует ∠DBC = ∠ADB = β. В △BCD равны углы при B и D, поэтому CD = BC. Следовательно, AB = CD, и трапеция ABCD равнобедренная.
3. В равнобедренной трапеции углы при большем основании равны: ∠DAB = ∠ADC. Их биссектрисы образуют с AD равные углы, поэтому ∠OAD = ∠ADO. Следовательно, в △AOD равны противоположные этим углам стороны: AO = OD.

Ответ: ABCD — равнобедренная трапеция; △AOD равнобедренный, AO = OD.