6. Доказательство с использованием свойств квадрата. Через конечную точку B диагонали BD = 16,7 ед. изм. квадрата ABCD проведена прямая, перпендикулярная диагонали BD. Проведённая прямая пересекает прямые DA и DC в точках M и N соответственно. Определи длину отрезка MN.

Пусть сторона квадрата равна \(s\), а точка \(B\) — начало перпендикуляра к диагонали \(BD\). Диагональ квадрата образует с каждой стороной угол 45°, поэтому прямая через B, перпендикулярная BD, пересекает прямые DA и DC симметрично относительно диагонали BD.

В координатах можно взять \(D=(0,0)\), \(A=(s,0)\), \(C=(0,s)\), \(B=(s,s)\). Диагональ BD имеет наклон 1, значит перпендикуляр через B имеет наклон −1: \(y-s=-(x-s)\), то есть \(x+y=2s\). На прямой DA, где \(y=0\), получается \(M=(2s,0)\); на прямой DC, где \(x=0\), получается \(N=(0,2s)\).

Тогда \(MN=\sqrt{(2s)^2+(2s)^2}=2s\sqrt2\). Поскольку \(BD=s\sqrt2=16{,}7\), получаем \(MN=2BD=2\cdot16{,}7=33{,}4\).

Ответ: 33,4 ед. изм.