6. Докажите, что средняя линия трапеции делит её диагонали пополам. Дано: ABCD — трапеция, MN — средняя линия, AC и BD — диагонали, AC ∩ MN = O, BD ∩ MN = Q. Доказать: O — середина AC, Q — середина BD.

Так как MN — средняя линия трапеции, точки M и N — середины боковых сторон AB и CD, а MN параллельна основаниям AD и BC.

Рассмотрим треугольник ABC. Точка M — середина AB, а прямая MN, параллельная BC, пересекает AC в точке O. По теореме о средней линии треугольника O — середина AC, то есть AO = OC.

Рассмотрим треугольник DCA. Точка N — середина DC, а MN параллельна AD и пересекает AC в точке O. По теореме о средней линии треугольника O также является серединой AC.

Для диагонали BD рассмотрим треугольник ABD: M — середина AB, а MN параллельна AD и пересекает BD в Q. По теореме о средней линии треугольника Q — середина BD, то есть BQ = QD.

Следовательно, средняя линия трапеции делит обе её диагонали пополам.