6. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 6.

Решение:

Пусть \( AB \) и \( AC \) — касательные к окружности с центром \( O \), проведенные из точки \( A \). Обозначим точки касания \( B \) и \( C \) соответственно. По условию, \( \angle BAC = 60^{\circ} \).

\( OB \) и \( OC \) — радиусы окружности, проведенные в точки касания. Следовательно, \( \angle OBA = \angle OCA = 90^{\circ} \).

\( AO \) — биссектриса \( \angle BAC \) (так как \( \triangle OAB = \triangle OAC \) по гипотенузе и катету, \( OA = OA \) — общая гипотенуза, \( OB = OC \) — радиусы, \( \angle OBA = \angle OCA = 90^{\circ} \)).

Значит, \( \angle OAB = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle OAB \).

Мы знаем, что \( \angle OAB = 30^{\circ} \) и гипотенуза \( OA = 6 \).

Катет \( OB \) (радиус окружности) лежит напротив угла в 30°, поэтому он равен половине гипотенузы.

\[ OB = \frac{1}{2} OA \]\[ OB = \frac{1}{2} \cdot 6 \]\[ OB = 3 \]

Ответ: 3