6. Найдите допустимые значения переменных в выражениях:

Решение:

Допустимые значения переменных — это те значения, при которых выражение имеет смысл. Для дробных выражений знаменатель не должен быть равен нулю.

а) \( \frac{x^2-x+1}{4} \)

Знаменатель равен 4, что не зависит от \( x \) и никогда не равно нулю. Следовательно, допустимы все действительные значения \( x \).

Ответ: а) \( x \) — любое действительное число

б) \( \frac{x+1}{x^2+9} + 2x \)

Знаменатель \( x^2+9 \) всегда больше нуля, так как \( x^2 ≥ 0 \), то \( x^2+9 ≥ 9 \). Следовательно, допустимы все действительные значения \( x \).

Ответ: б) \( x \) — любое действительное число

в) \( \frac{14}{3x-6} \)

Знаменатель не должен быть равен нулю: \( 3x-6 \ne 0 \) \( → 3x \ne 6 \) \( → x \ne 2 \).

Ответ: в) \( x \ne 2 \)

г) \( \frac{x^2-3}{(x-2)(x+5)} \)

Знаменатель не должен быть равен нулю: \( (x-2)(x+5) \ne 0 \). Это означает, что \( x-2 \ne 0 \) и \( x+5 \ne 0 \). Следовательно, \( x \ne 2 \) и \( x \ne -5 \).

Ответ: г) \( x \ne 2, x \ne -5 \)

д) \( \frac{x^2+1}{x(x+3)} \)

Знаменатель не должен быть равен нулю: \( x(x+3) \ne 0 \). Это означает, что \( x \ne 0 \) и \( x+3 \ne 0 \). Следовательно, \( x \ne 0 \) и \( x \ne -3 \).

Ответ: д) \( x \ne 0, x \ne -3 \)

е) \( \frac{2x}{(x-1)^2(x^2-4)} \)

Знаменатель не должен быть равен нулю: \( (x-1)^2(x^2-4) \ne 0 \). Это означает, что \( (x-1)^2 \ne 0 \) и \( x^2-4 \ne 0 \). Следовательно, \( x-1 \ne 0 \) (то есть \( x \ne 1 \)) и \( x^2 \ne 4 \) (то есть \( x \ne 2 \) и \( x \ne -2 \)).

Ответ: е) \( x \ne 1, x \ne 2, x \ne -2 \)