6. Найдите наименьшее натуральное решение неравенства х²-14х + 45 > 0.

Задание 6

Для решения неравенства \( x^2 - 14x + 45 > 0 \) сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения \( x^2 - 14x + 45 = 0 \).

Можно использовать дискриминант или теорему Виета.

По теореме Виета:

• Сумма корней \( x_1 + x_2 = 14 \)
• Произведение корней \( x_1 \cdot x_2 = 45 \)

Подбираем числа: \( 9 \) и \( 5 \).

\( 9 + 5 = 14 \)

\( 9 \cdot 5 = 45 \)

Корни уравнения: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = 9 \).

Теперь рассмотрим график функции \( y = x^2 - 14x + 45 \). Это парабола с ветвями вверх (так как коэффициент при \( x^2 \) равен 1, что больше нуля). Парабола пересекает ось X в точках 5 и 9.

Неравенство \( x^2 - 14x + 45 > 0 \) выполняется там, где график функции находится выше оси X. Это происходит при \( x < 5 \) или \( x > 9 \).

Нам нужно найти наименьшее натуральное решение. Натуральные числа — это \( 1, 2, 3, ... \).

Рассмотрим интервал \( x < 5 \). Натуральные числа на этом интервале: 1, 2, 3, 4. Наименьшее из них — 1.

Рассмотрим интервал \( x > 9 \). Натуральные числа на этом интервале: 10, 11, 12, ... Наименьшее из них — 10.

Сравнивая наименьшее натуральное решение из обоих интервалов (1 и 10), наименьшим является 1.

Ответ: 1