6. Найдите наименьшую возможную площадь поверхности цилиндра, если известно, что его объём равен 16πсм³ длина радиуса основания R принадлежит [1; 4]

Объём цилиндра V = πR²h = 16π, откуда h = 16/(R²).

Площадь поверхности цилиндра S = 2πR² + 2πRh = 2πR² + 2πR * (16/R²) = 2πR² + 32π/R.

Для нахождения минимума, найдём производную S по R: S' = 4πR - 32π/R². Приравнивая к нулю, получаем R⁴ = 8, R = 2√2. Так как 2√2 ≈ 2.828, что входит в интервал [1; 4], то при R = 2√2 достигается минимум. S_min = 2π(2√2)² + 32π/(2√2) = 2π(8) + 16π/√2 = 16π + 8√2π.