6*. Найдите натуральные значения n, при которых значение выражения √(n² + 39) является двузначным числом.

Пусть значение корня — двузначное натуральное число \(k\). Тогда \(10\le k\le99\) и \(k^2=n^2+39\), то есть \(k^2-n^2=39\).

Разложим разность квадратов: \((k-n)(k+n)=39\). Положительные пары множителей числа 39: \(1\cdot39\) и \(3\cdot13\).

Для пары \(k-n=1\), \(k+n=39\) получаем \(k=20\), \(n=19\). Для пары \(k-n=3\), \(k+n=13\) получаем \(k=8\), \(n=5\), но 8 не является двузначным числом.

Проверка: \(\sqrt{19^2+39}=\sqrt{400}=20\).

Ответ: n = 19.