6*. Найдите натуральные значения n, при которых значение выражения \(\sqrt{n^2+29}\) является двузначным числом.

Если значение корня — двузначное целое число, обозначим его через \(m\). Тогда \(m^2=n^2+29\), откуда \((m-n)(m+n)=29\).

Число 29 простое, а оба множителя положительны, поэтому \(m-n=1\), \(m+n=29\). Складываем равенства: \(2m=30\), значит, \(m=15\). Тогда \(n=14\).

Проверка: \(\sqrt{14^2+29}=\sqrt{225}=15\), это двузначное число.

Ответ: \(n=14\).