№ 6. Найдите область определения функции: у = log5(x² + 5x + 6)

Решение:

Область определения логарифмической функции определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго больше нуля. В данном случае аргументом является квадратный трёхчлен \( x^2 + 5x + 6 \).

Необходимо решить неравенство:

\[ x^2 + 5x + 6 > 0 \]

Для этого найдём корни соответствующего квадратного уравнения \( x^2 + 5x + 6 = 0 \).

Используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Парабола \( y = x^2 + 5x + 6 \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( x^2 + 5x + 6 > 0 \) выполняется при \( x < -3 \) или \( x > -2 \).

Таким образом, область определения функции:

\[ D(y) = \left( -\infty; -3 \right) \cup \left( -2; +\infty \right) \]

Ответ: \( D(y) = \left( -\infty; -3 \right) \cup \left( -2; +\infty \right) \).