№ 8. Найдите значение трех других тригонометрических функций, если: sin a = -5/8, π < α < 3π/2

Решение:

Из условия \( \sin \alpha = -\frac{5}{8} \) и \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) известно, что угол \( \alpha \) находится в третьей четверти. В третьей четверти синус и косинус отрицательны, а тангенс и котангенс положительны.

1. Найдём косинус \( \cos \alpha \):

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \]\[ \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{5}{8}\right)^2 \]\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{64} = \frac{64 - 25}{64} = \frac{39}{64} \]

Так как \( \alpha \) в третьей четверти, \( \cos \alpha < 0 \). Следовательно:

\[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{39}{64}} = -\frac{\sqrt{39}}{8} \]

2. Найдём тангенс \( \text{tg} \alpha \):

Используем формулу: \( \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).

\[ \text{tg} \alpha = \frac{-\frac{5}{8}}{-\frac{\sqrt{39}}{8}} = \frac{5}{8} \cdot \frac{8}{\sqrt{39}} = \frac{5}{\sqrt{39}} \]

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

\[ \text{tg} \alpha = \frac{5}{\sqrt{39}} \cdot \frac{\sqrt{39}}{\sqrt{39}} = \frac{5\sqrt{39}}{39} \]

3. Найдём котангенс \( \text{ctg} \alpha \):

Используем формулу: \( \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\text{tg} \alpha} \).

\[ \text{ctg} \alpha = \frac{1}{\frac{5}{\sqrt{39}}} = \frac{\sqrt{39}}{5} \]

Ответ: \( \cos \alpha = -\frac{\sqrt{39}}{8} \), \( \text{tg} \alpha = \frac{5\sqrt{39}}{39} \), \( \text{ctg} \alpha = \frac{\sqrt{39}}{5} \).