6. Окружность с центром в точке О касается сторон угла ВАС (В и С — точки касания). Касательная MN к этой окружности пересекает стороны угла ВАС в точках N и М. Найдите длину отрезка АС, если периметр треугольника AMN равен 14 см.

Решение:

В данном случае, если окружность касается сторон угла \( \angle BAC \) в точках \( B \) и \( C \), то \( AB \) и \( AC \) являются касательными к окружности. По свойству касательных, отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны. Следовательно, \( AB = AC \).

Также, \( MN \) является касательной к окружности. Пусть \( P \) — точка касания отрезка \( MN \) с окружностью. Тогда \( NP \) и \( MP \) — отрезки касательных, проведённых из точек \( N \) и \( M \) соответственно.

По свойству касательных, проведённых из точки \( N \) к окружности, \( NB = NP \).

По свойству касательных, проведённых из точки \( M \) к окружности, \( MC = MP \).

Периметр треугольника \( AMN \) равен \( AM + AN + MN \).

Мы можем переписать \( MN \) как \( MP + PN \).

Тогда периметр \( \triangle AMN = AM + AN + MP + PN \).

Заменяя \( MP \) на \( MC \) и \( PN \) на \( NB \), получаем:

Периметр \( \triangle AMN = AM + AN + MC + NB \).

Из рисунка видно, что \( AM + MC = AC \) и \( AN + NB = AB \).

Таким образом, периметр \( \triangle AMN = AC + AB \).

Нам дано, что периметр \( \triangle AMN = 14 \) см.

Значит, \( AC + AB = 14 \) см.

Так как \( AB = AC \) (свойство касательных из одной точки), мы можем заменить \( AB \) на \( AC \):

\( AC + AC = 14 \) см.

\( 2 · AC = 14 \) см.

\( AC = \frac{14}{2} \) см.

\( AC = 7 \) см.

Ответ: 7 см.