7. Две пересекающиеся окружности с центрами в точках О и О1 касаются сторон угла А (В и В1 — точки касания). Радиус окружности с центром в точке О в два раза больше радиуса окружности с центром в точке О1. Найдите отрезок О1А, если отрезок ОА равен 24 см.

Решение:

Так как обе окружности касаются сторон угла \( A \), их центры \( O \) и \( O_1 \) лежат на биссектрисе угла \( A \). Это означает, что \( AO \) и \( AO_1 \) являются биссектрисами угла \( A \).

По условию, радиус окружности с центром \( O \) в два раза больше радиуса окружности с центром \( O_1 \). Обозначим радиус окружности с центром \( O_1 \) как \( r_1 \), а радиус окружности с центром \( O \) как \( r \). Тогда \( r = 2 · r_1 \).

Также, \( AO = 24 \) см.

Рассмотрим прямоугольные треугольники, образованные центрами окружностей, точками касания и вершиной угла \( A \).

Для окружности с центром \( O \), \( \triangle AVO \) — прямоугольный (где \( V \) — точка касания \( B \) на рисунке), причём \( OV = r \) и \( AO = 24 \).

Для окружности с центром \( O_1 \), \( \triangle AV_1O_1 \) — прямоугольный (где \( V_1 \) — точка касания \( B_1 \) на рисунке), причём \( O_1V_1 = r_1 \) и \( AO_1 \) — искомое расстояние.

Так как \( AO \) и \( AO_1 \) лежат на биссектрисе угла \( A \), треугольники \( AVO \) и \( AV_1O_1 \) подобны.

Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

\( \frac{AO}{AO_1} = \frac{OV}{O_1V_1} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{24}{AO_1} = \frac{r}{r_1} \)

Поскольку \( r = 2 · r_1 \), то \( \frac{r}{r_1} = 2 \).

\( \frac{24}{AO_1} = 2 \)

\( AO_1 = \frac{24}{2} \)

\( AO_1 = 12 \) см.

Ответ: 12 см.