6. Площадь прямоугольного треугольника равна 32√3. Один из острых углов равен 60°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Решение:

Обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \). Пусть \( \angle A = 60^{\circ} \). Тогда \( \angle B = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

Площадь прямоугольного треугольника равна \( S = \frac{1}{2}ab \), где \( a \) и \( b \) — катеты.

Пусть \( a \) — катет, прилежащий к углу \( 60^{\circ} \) (то есть катет \( AC \)), а \( b \) — катет, противолежащий углу \( 60^{\circ} \) (то есть катет \( BC \)).

Из условия известно, что \( S = 32\sqrt{3} \).

В прямоугольном треугольнике катет, прилежащий к углу, равен гипотенузе, умноженной на косинус этого угла. Катет, противолежащий углу, равен гипотенузе, умноженной на синус этого угла.

Также, катет, противолежащий углу \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы. Катет, прилежащий к углу \( 60^{\circ} \), равен \( a \), а катет, противолежащий углу \( 60^{\circ} \), равен \( b \).

Мы имеем: \( \tan(60^{\circ}) = \frac{b}{a} = \sqrt{3} \), следовательно \( b = a\sqrt{3} \).

Подставим это в формулу площади: \( S = \frac{1}{2} a \cdot (a\sqrt{3}) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2} \).

Нам дано, что \( S = 32\sqrt{3} \).

Приравниваем: \( \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = 32\sqrt{3} \).

Разделим обе части на \( \sqrt{3} \): \( \frac{a^2}{2} = 32 \).

Умножим обе части на 2: \( a^2 = 64 \).

Извлечём квадратный корень: \( a = \sqrt{64} = 8 \).

Таким образом, длина катета, прилежащего к углу \( 60^{\circ} \), равна 8.

Ответ: 8.