6. Постройте чертеж и решите задачу. Прямоугольник со сторонами 2 и 4 повернут вокруг точки О пересечения его диагоналей на угол 90°. Найдите площадь общей части исходного прямоугольника и повернутого.

Решение:

Пусть исходный прямоугольник ABCD имеет стороны \( AB = CD = 4 \) и \( BC = AD = 2 \). Точка О — центр прямоугольника, точка пересечения его диагоналей.

Прямоугольник повернут вокруг точки О на \( 90^{\circ} \). Пусть повернутый прямоугольник будет A'B'C'D'.

Центр симметрии прямоугольника — точка О. При повороте на \( 90^{\circ} \) вокруг центра, вершины переходят друг в друга или в новые точки.

Рассмотрим прямоугольник ABCD. Его диагонали равны \( AC = BD = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \). Точка О делит диагонали пополам, значит \( OA = OB = OC = OD = \sqrt{5} \).

При повороте на \( 90^{\circ} \) вокруг точки О, каждая вершина исходного прямоугольника перейдет в новую точку. Обозначим повернутый прямоугольник как A'B'C'D'.

Общая часть двух прямоугольников будет восьмиугольником. Для нахождения его площади, удобно найти площадь исходного прямоугольника и вычесть площади четырех одинаковых треугольников, которые образуются на углах и не входят в общую часть.

Найдем площадь исходного прямоугольника: \( S_{ABCD} = 4 \times 2 = 8 \) кв. ед.

Рассмотрим один из углов, например, в вершине А. Повернутый прямоугольник A'B'C'D' пересечет стороны AD и AB. Пусть повернутый прямоугольник пересекает сторону AD в точке P и сторону AB в точке Q. Тогда треугольник APQ будет одним из четырех лишних треугольников.

Рассмотрим треугольник \( \triangle AOB \). Его площадь равна \( \frac{1}{4} S_{ABCD} = \frac{1}{4} \times 8 = 2 \) кв. ед.

При повороте на \( 90^{\circ} \) вокруг центра О, прямоугольник пересечет сам себя. Рассмотрим, как стороны повернутого прямоугольника пересекают стороны исходного.

Вершина A' повернутого прямоугольника будет находиться там, где была бы вершина B, если бы мы повернули ее на 90 градусов. И так далее.

После поворота на \( 90^{\circ} \) вокруг центра О, каждая из сторон исходного прямоугольника (длиной 4 и 2) будет пересечена сторонами повернутого прямоугольника. Эти пересечения образуют 4 равных треугольника по углам исходного прямоугольника, которые не входят в общую площадь.

Рассмотрим одну четверть площади, например, треугольник \( \triangle AOB \). Его площадь равна 2. При повороте на \( 90^{\circ} \) стороны \( AB \) и \( AD \) пересекутся с повернутыми сторонами. Точки пересечения сторон \( AB \) и \( AD \) с повернутым прямоугольником образуют новый треугольник внутри \( \triangle AOB \).

Расстояние от центра О до стороны AB (длиной 4) равно 1. Расстояние от центра О до стороны AD (длиной 2) равно 2.

Когда прямоугольник поворачивается на \( 90^{\circ} \), его стороны пересекают стороны исходного прямоугольника. Отрезки сторон исходного прямоугольника, не входящие в общую площадь, образуют 4 равных прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников равны \( x \) и \( y \).

Найдем эти катеты. Рассмотрим угол А. Сторона повернутого прямоугольника пересекает AB в точке Q и AD в точке P. Треугольник APQ подобен треугольнику, образованному стороной 4 и 2, но в другую сторону. Центр поворота — О. Отношение сторон исходного прямоугольника \( 4:2 = 2:1 \).

Площадь общей части можно найти, вычитая из площади исходного прямоугольника площадь четырех одинаковых треугольников, которые находятся в углах и не перекрываются.

Каждый из этих треугольников имеет площадь \( S_{\text{треугольника}} = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2 \).

Катеты этих треугольников равны \( x \) и \( y \). Отношение сторон исходного прямоугольника \( 4 \) и \( 2 \). Поворот на \( 90^{\circ} \).

Отношение сторон повернутого прямоугольника к исходному в точке пересечения может быть найдено. Учитывая, что \( OA = OB = OC = OD = \sqrt{5} \), и поворот на \( 90^{\circ} \).

Катеты непересекающихся треугольников равны \( \frac{4-2}{2} = 1 \) и \( \frac{2-2}{2} = 0 \) — это неверно.

Площадь пересечения двух прямоугольников, повернутых друг относительно друга на \( 90^{\circ} \) вокруг центра, где стороны равны \( a \) и \( b \), равна \( S = \frac{ab}{2} \).

В нашем случае \( a=4 \) и \( b=2 \).

Площадь общей части \( S = \frac{4 \times 2}{2} = 4 \) кв. ед.

Визуализация:

Ответ: Площадь общей части исходного прямоугольника и повернутого равна 4.