6. Постройте график функции y = x² + 2x − 3. Найдите с помощью графика: а) значение y при x = −0,5; б) значение x, при которых y = 1; в) нули функции; промежутки, в которых y > 0 и в которых y < 0; г) найдите наименьшее значение функции.

Представим функцию в виде полного квадрата: \(y=x^2+2x-3=(x+1)^2-4\). Значит, график — парабола с ветвями вверх, вершиной \((-1;-4)\) и осью симметрии \(x=-1\).

а) При \(x=-0.5\): \(y=(-0.5)^2+2(-0.5)-3=0.25-1-3=-3.75\).

б) При \(y=1\): \(x^2+2x-3=1\), то есть \(x^2+2x-4=0\). Отсюда \(x=-1\pm\sqrt{5}\) (приблизительно \(-3.24\) и \(1.24\)).

в) Нули функции: \(x^2+2x-3=(x+3)(x-1)=0\), поэтому \(x=-3\) и \(x=1\). Парабола направлена вверх, следовательно, \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-3)\cup(1;+)\), а \(y<0\) при \(x\in(-3;1)\).

г) Минимум достигается в вершине параболы: наименьшее значение функции равно \(-4\).

График функции:

Ответ: а) −3,75; б) \(x=-1-\sqrt5\) и \(x=-1+\sqrt5\); в) нули −3 и 1, \(y>0\) при \(x\in(-\infty;-3)\cup(1;+)\), \(y<0\) при \(x\in(-3;1)\); г) −4.