6. Постройте на координатной плоскости а) точки М, Е, F, К, если М(-3;0), E(0; -4), F(4;6), К(-3;5); б) определите координату точки пересечения прямых MF и KE.

Решение:

а) Построение точек:

Отметим точки на координатной плоскости:

• M(-3;0) — на оси абсцисс.
• E(0;-4) — на оси ординат.
• F(4;6) — в первой четверти.
• K(-3;5) — во второй четверти.

б) Нахождение точки пересечения прямых MF и KE.

1. Найдем уравнение прямой MF.

Точки M(-3;0) и F(4;6).

Угловой коэффициент \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 0}{4 - (-3)} = \frac{6}{7} \).

Уравнение прямой: \( y - y_1 = k(x - x_1) \)

\( y - 0 = \frac{6}{7}(x - (-3)) \)

\( y = \frac{6}{7}(x + 3) \)

\( y = \frac{6}{7}x + \frac{18}{7} \) (Уравнение 1)

2. Найдем уравнение прямой KE.

Точки K(-3;5) и E(0;-4).

Угловой коэффициент \( k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - 5}{0 - (-3)} = \frac{-9}{3} = -3 \).

Уравнение прямой: \( y - y_1 = k(x - x_1) \)

\( y - (-4) = -3(x - 0) \)

\( y + 4 = -3x \)

\( y = -3x - 4 \) (Уравнение 2)

3. Найдем точку пересечения, приравняв уравнения:

\( \frac{6}{7}x + \frac{18}{7} = -3x - 4 \)

Умножим обе части на 7, чтобы избавиться от дробей:

\( 6x + 18 = -21x - 28 \)

Перенесем члены с \(x\) влево, числа вправо:

\( 6x + 21x = -28 - 18 \)

\( 27x = -46 \)

\( x = -\frac{46}{27} \)

Подставим значение \(x\) в Уравнение 2, чтобы найти \(y\):

\( y = -3(-\frac{46}{27}) - 4 \)

\( y = \frac{3 \cdot 46}{27} - 4 \)

\( y = \frac{46}{9} - \frac{36}{9} \)

\( y = \frac{10}{9} \)

Точка пересечения имеет координаты \((-\frac{46}{27}; \frac{10}{9})\).

Ответ: а) точки построены на координатной плоскости; б) координата точки пересечения прямых MF и KE: \((-\frac{46}{27}; \frac{10}{9})\).