6*. Правильный шестиугольник вписан в окружность. Площадь кругового сектора, соответствующего центральному углу шестиугольника, равна Зπ. Найдите площадь шестиугольника.

Дано:

• Правильный шестиугольник вписан в окружность.
• Площадь кругового сектора S_{сектора} = 3π.

Найти: Площадь шестиугольника S_{шестиугольника}.

Решение:

1. Центральный угол правильного шестиугольника: Центральный угол правильного шестиугольника равен 360° / 6 = 60°.
2. Площадь кругового сектора: Площадь сектора вычисляется по формуле: S_{сектора} = (π * R² * α) / 360°, где R — радиус окружности, α — центральный угол в градусах.
3. Нахождение радиуса окружности:
• Подставляем известные значения: 3π = (π * R² * 60°) / 360°
• Упрощаем: 3π = (π * R²) / 6
• Решаем относительно R²: R² = (3π * 6) / π = 18
• R = √18 = 3√2
4. Связь шестиугольника и окружности: Правильный шестиугольник, вписанный в окружность, состоит из шести равносторонних треугольников. Сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности (a = R).
5. Площадь равностороннего треугольника: Площадь равностороннего треугольника со стороной a вычисляется по формуле: S_{треугольника} = (a² * √3) / 4
6. Площадь шестиугольника: Площадь правильного шестиугольника равна шести площадям равносторонних треугольников, из которых он состоит.
• Так как a = R, то a² = R² = 18.
• S_{шестиугольника} = 6 * S_{треугольника} = 6 * (a² * √3) / 4
• S_{шестиугольника} = 6 * (18 * √3) / 4
• S_{шестиугольника} = (108 * √3) / 4
• S_{шестиугольника} = 27√3

Ответ: 27√3