6. Представьте выражение (a⁻¹ + b)(a + b⁻¹)⁻¹ в виде рациональной дроби.

Решение:

Сначала преобразуем каждое слагаемое:

\( a^{-1} = \frac{1}{a} \)

\( b^{-1} = \frac{1}{b} \)

Подставим в исходное выражение:

\( \left(\frac{1}{a} + b\right) · \left(a + \frac{1}{b}\right)^{-1} \)

Приведем к общему знаменателю в первой скобке:

\( \frac{1 + ab}{a} \)

Приведем к общему знаменателю во второй скобке и возведем в степень -1 (то есть перевернем дробь):

\( \left(\frac{ab + 1}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{ab + 1} \)

Теперь перемножим полученные выражения:

\( \frac{1 + ab}{a} · \frac{b}{ab + 1} = \frac{(1 + ab)b}{a(ab + 1)} \)

Сократим \( (1 + ab) \) в числителе и знаменателе:

\( \frac{b}{a} \)

Ответ: b/a.