6. При каких значениях х х³ больше х?

Решение:

Для решения неравенства x³ > x, выполним следующие шаги:

1. Перенесем все члены в одну сторону:
• \[ x^3 - x > 0 \]
2. Вынесем общий множитель (x) за скобки:
• \[ x(x^2 - 1) > 0 \]
3. Разложим выражение в скобках как разность квадратов:
• \[ x(x - 1)(x + 1) > 0 \]
4. Найдем корни уравнения x(x - 1)(x + 1) = 0:
• Корни: x = 0, x = 1, x = -1.
5. Определим знаки интервалов на числовой оси:
• Разделим числовую ось на интервалы с помощью найденных корней: (-∞; -1), (-1; 0), (0; 1), (1; +∞).
• Проверим знак выражения x(x - 1)(x + 1) в каждом интервале:
• x < -1: (отриц.) * (отриц.) * (отриц.) = отрицательный.
• -1 < x < 0: (отриц.) * (отриц.) * (положительный) = положительный.
• 0 < x < 1: (положительный) * (отриц.) * (положительный) = отрицательный.
• x > 1: (положительный) * (положительный) * (положительный) = положительный.
6. Определим, где выражение больше нуля:
• Неравенство x(x - 1)(x + 1) > 0 выполняется на интервалах, где знак положительный.

Ответ: Значения x, при которых x³ больше x, находятся в интервалах (-1; 0) ∪ (1; +∞).