6. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 35, BC = 21, CF : DF = 5 : 2.

Решение:

Пусть \( EF \) — средняя линия трапеции, параллельная основаниям \( AD \) и \( BC \).

По условию \( CF : DF = 5 : 2 \). Пусть \( CF = 5x \) и \( DF = 2x \). Тогда \( CD = CF + DF = 5x + 2x = 7x \).

Так как \( EF \) параллельна \( AD \) и \( BC \), она делит боковые стороны \( AB \) и \( CD \) пропорционально.

Используем формулу для средней линии трапеции, проходящей через середины боковых сторон: \( EF = \frac{AD + BC}{2} \). Однако, \( E \) и \( F \) не обязательно являются серединами.

Чтобы найти длину отрезка \( EF \), проходящего через точку \( F \) на \( CD \) и параллельного основаниям, можно использовать теорему Фалеса или пропорциональное деление.

Опустим перпендикуляры из \( B \) и \( C \) на \( AD \). Пусть \( BB' \) и \( CC' \) — высоты трапеции.

Рассмотрим подобие треугольников или теорему о пропорциональных отрезках.

Пусть \( F \) делит отрезок \( CD \) в отношении \( CF:DF = 5:2 \). Это значит, что \( F \) находится на расстоянии \( \frac{2}{7} \) от \( D \) и \( \frac{5}{7} \) от \( C \) по стороне \( CD \).

Длина средней линии, которая делит боковые стороны в отношении \( m:n \) (где \( m \) — часть от \( C \) до \( F \), а \( n \) — от \( F \) до \( D \)) рассчитывается как \( EF = \frac{n · AD + m · BC}{m+n} \), где \( m=5 \) и \( n=2 \).

\( EF = \frac{2 \cdot AD + 5 · BC}{5+2} = \frac{2 \cdot 35 + 5 · 21}{7} \)

\( EF = \frac{70 + 105}{7} = \frac{175}{7} \)

\( EF = 25 \).

Ответ: 25