6. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно. Найдите BN, если MN = 12, AC = 42, NC = 25.

Решение:

По условию, \( MN \parallel AC \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABC \) и \( \triangle MBN \).

Так как \( MN \parallel AC \), то \( \triangle MBN \sim \triangle ABC \) по двум углам (угол \( \angle B \) общий, и \( \angle BMN = \angle BAC \) как соответственные углы при параллельных прямых \( MN \) и \( AC \) и секущей \( AB \)).

Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

\[ \frac{MB}{AB} = \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \]

Нам дано:

• \( MN = 12 \)
• \( AC = 42 \)
• \( NC = 25 \)

Из отношения \( \frac{BN}{BC} = \frac{MN}{AC} \) имеем:

\[ \frac{BN}{BC} = \frac{12}{42} = \frac{2}{7} \]

Мы знаем, что \( BC = BN + NC \).

Подставим это в уравнение:

\[ \frac{BN}{BN + NC} = \frac{2}{7} \]

\[ \frac{BN}{BN + 25} = \frac{2}{7} \]

Решим пропорцию:

\[ 7 \cdot BN = 2 \cdot (BN + 25) \]

\[ 7BN = 2BN + 50 \]

\[ 7BN - 2BN = 50 \]

\[ 5BN = 50 \]

\[ BN = \frac{50}{5} \]

\[ BN = 10 \]

Ответ: 10