6. Расположите числа -√7; -√23/6 и -3√5√2 в порядке возрастания.

Решение:

Для сравнения чисел удобно привести их к одному показателю корня или возвести в квадрат (учитывая знак).

Шаг 1: Преобразуем числа.

• \[ -\sqrt{7} = -\sqrt[6]{7^3} = -\sqrt[6]{343} \]
• \[ -\sqrt[3]{\frac{2}{3}} = -\sqrt[6]{(\frac{2}{3})^2} = -\sqrt[6]{\frac{4}{9}} \]
• \[ -\sqrt[5]{2} = -\sqrt[6]{2^{\frac{6}{5}}} \text{ (сложно, попробуем иначе)} \]

Шаг 2: Сравним квадраты чисел (но помним, что они отрицательные, поэтому порядок будет обратным).

• \[ (-\sqrt{7})^2 = 7 \]
• \[ (-\sqrt[3]{\frac{2}{3}})^2 = \sqrt[3]{\frac{4}{9}} \text{ (сравним с 7)} \]
• \[ (-\sqrt[5]{2})^2 = \sqrt[5]{4} \text{ (сравним с 7)} \]

Шаг 3: Преобразуем числа к одному показателю корня, например, 30-му.

• \[ -\sqrt{7} = -\sqrt[30]{7^{15}} \]
• \[ -\sqrt[3]{\frac{2}{3}} = -\sqrt[30]{(\frac{2}{3})^{10}} = -\sqrt[30]{\frac{1024}{59049}} \]
• \[ -\sqrt[5]{2} = -\sqrt[30]{2^6} = -\sqrt[30]{64} \]

Шаг 4: Сравним подкоренные выражения.

• \[ 7^{15} \] - очень большое число.
• \[ \frac{1024}{59049} \approx 0.017 \]
• \[ 64 \]

Так как все числа отрицательные, наименьшим будет то, у которого подкоренное выражение самое большое. Наибольшее подкоренное выражение у \(-\sqrt{7}\). Наименьшее — у \(-\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\).

Порядок возрастания: \(-\sqrt[3]{\frac{2}{3}}\), \(-\sqrt[5]{2}\), \(-\sqrt{7}\)

Ответ: -√2/3; -√5/2; -√7