6. Решите неравенство: log₉x ≤ 0,5

Решение:

Неравенство имеет вид \( \log_9 x \le 0.5 \).

Для начала определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку логарифм определён только для положительных чисел, \( x > 0 \).

Теперь преобразуем правую часть неравенства, представив \( 0.5 \) как логарифм по основанию 9:

\( 0.5 = \frac{1}{2} = \log_9 9^{1/2} = \log_9 \sqrt{9} = \log_9 3 \).

Теперь наше неравенство выглядит так:

\( \log_9 x \le \log_9 3 \).

Так как основание логарифма \( 9 > 1 \), функция \( y = \log_9 x \) является возрастающей. Следовательно, мы можем перейти от сравнения логарифмов к сравнению их аргументов, сохранив знак неравенства:

\( x \le 3 \).

Учитывая ОДЗ \( x > 0 \), получаем, что \( 0 < x \le 3 \).

Ответ: \( (0; 3] \)