6. Решите уравнение: 1) √(x−3) = 5; 2) √(3−x−x²) = x; 3) √(32−x²) = x.

Question

Вопрос:

6. Решите уравнение: 1) √(x−3) = 5; 2) √(3−x−x²) = x; 3) √(32−x²) = x.

Accepted Answer

1) Область допустимых значений: \(x \ge 3\). Возводим обе части в квадрат: \(x-3=25\), поэтому \(x=28\). Проверка: \(\sqrt{28-3}=\sqrt{25}=5\).

2) Левая часть неотрицательна, поэтому необходимо \(x \ge 0\). Возводим обе части в квадрат: \(3-x-x^2=x^2\), то есть \(2x^2+x-3=0\). Корни: \(x=1\) и \(x=-\frac{3}{2}\). Условию \(x \ge 0\) удовлетворяет только \(x=1\). Проверка: \(\sqrt{3-1-1}=1\).

3) Необходимо \(x \ge 0\). Возводим обе части в квадрат: \(32-x^2=x^2\), откуда \(2x^2=32\), \(x^2=16\), поэтому \(x=4\) или \(x=-4\). С учётом условия \(x \ge 0\) остаётся \(x=4\). Проверка: \(\sqrt{32-16}=4\).

Ответ: 1) \(28\); 2) \(1\); 3) \(4\).