6. Решите уравнение: \(\frac{16}{x^2 - 16} + \frac{x}{x+4} = \frac{2}{x-4}\)

Решение:

Приведём уравнение к общему знаменателю. Заметим, что \(x^2 - 16 = (x-4)(x+4)\).

1. Убедимся, что знаменатели не равны нулю: \(x \neq 4\) и \(x \neq -4\).
2. Общий знаменатель: \((x-4)(x+4)\).
3. Приведём дроби к общему знаменателю: \[ \frac{16}{(x-4)(x+4)} + \frac{x(x-4)}{(x+4)(x-4)} = \frac{2(x+4)}{(x-4)(x+4)} \]
4. Умножим обе части уравнения на \((x-4)(x+4)\): \(16 + x(x-4) = 2(x+4)\).
5. Раскроем скобки: \(16 + x^2 - 4x = 2x + 8\).
6. Перенесём все члены в одну сторону и приведём подобные: \(x^2 - 4x - 2x + 16 - 8 = 0\) \(x^2 - 6x + 8 = 0\).
7. Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]
8. Найдем корни: \[ x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 2}{2} = \frac{8}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 2}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
9. Проверим корни. Корень \(x=4\) не подходит, так как он обращает знаменатель в ноль. Корень \(x=2\) подходит.

Ответ: 2