6. Решите уравнение $$\sqrt{3x+22}=2-x$$. Если уравнение имеет больший из корней.

Задание 6. Решение уравнения

Дано уравнение: $$\sqrt{3x+22} = 2 - x$$

Шаг 1: Определим область допустимых значений (ОДЗ).

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

\[ 3x + 22 \geq 0 \]\[ 3x \geq -22 \]\[ x \geq -\frac{22}{3} \] (Примерно \( x \geq -7.33 \))

Кроме того, правая часть уравнения (значение корня) должна быть неотрицательной:

\[ 2 - x \geq 0 \]\[ 2 \geq x \]\[ x \leq 2 \] (Значит, \( x \leq 2 \))

Таким образом, ОДЗ: \( -\frac{22}{3} \leq x \leq 2 \).

Шаг 2: Возведём обе части уравнения в квадрат.

\[ (\sqrt{3x+22})^2 = (2-x)^2 \]\[ 3x + 22 = 4 - 4x + x^2 \] (Используем формулу квадрата разности \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \))

Шаг 3: Приведём уравнение к стандартному квадратному виду \( ax^2 + bx + c = 0 \).

\[ x^2 - 4x - 3x + 4 - 22 = 0 \]\[ x^2 - 7x - 18 = 0 \]

Шаг 4: Решим квадратное уравнение.

Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4(1)(-18) = 49 + 72 = 121 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.

Найдём корни по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]\[ x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{121}}{2(1)} = \frac{7 + 11}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]\[ x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{121}}{2(1)} = \frac{7 - 11}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \]

Шаг 5: Проверим корни на соответствие ОДЗ.

Напомним, что \( -\frac{22}{3} \leq x \leq 2 \).

• Корень \( x_1 = 9 \): Не удовлетворяет условию \( x \leq 2 \). Этот корень является посторонним.
• Корень \( x_2 = -2 \): Удовлетворяет условию \( -\frac{22}{3} \leq -2 \leq 2 \) (так как \( -7.33 \leq -2 \leq 2 \)). Этот корень является верным.

Шаг 6: Определим больший из корней.

В данном случае у нас только один верный корень \( x = -2 \). Если бы было два верных корня, мы бы выбрали из них больший. Но так как \( x=9 \) — посторонний, то единственным решением является \( x=-2 \).

Ответ: -2