8. Материальная точка движется прямолинейно по закону $$x(t) = -t^3 + 6t + 1$$. Где $$x$$ — расстояние от точки отсчёта в метрах, $$t$$ — время в секундах. В какой момент времени (в секундах) скорость точки будет равна нулю?

Задание 8. Определение момента времени, когда скорость равна нулю

Дано:

• Закон движения: \( x(t) = -t^3 + 6t + 1 \)
• \( x \) — расстояние в метрах, \( t \) — время в секундах.

Найти: момент времени \( t \), когда скорость \( v(t) = 0 \).

Шаг 1: Найдём скорость точки.

Скорость — это первая производная от координаты по времени:

\[ v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(-t^3 + 6t + 1) \]

Продифференцируем каждый член:

• Производная от \( -t^3 \) равна \( -3t^2 \).
• Производная от \( 6t \) равна \( 6 \).
• Производная от \( 1 \) равна \( 0 \).

Следовательно, скорость:

\[ v(t) = -3t^2 + 6 \]

Шаг 2: Приравняем скорость к нулю и найдём момент времени.

\[ v(t) = 0 \]\[ -3t^2 + 6 = 0 \]

Шаг 3: Решим полученное уравнение относительно \( t \).

\[ -3t^2 = -6 \]\[ t^2 = \frac{-6}{-3} \]\[ t^2 = 2 \]

Шаг 4: Извлечём квадратный корень.

\[ t = \pm \sqrt{2} \]

Поскольку время \( t \) не может быть отрицательным (движение начинается с \( t=0 \)), мы выбираем положительный корень.

\[ t = \sqrt{2} \]

Ответ: $$\sqrt{2}$$