6. Решите уравнение x² + y² - 8x + 2y + 17 = 0.

Задание 6. Решение уравнения с двумя переменными

Это уравнение выглядит как уравнение окружности, но сдвинутой относительно начала координат. Чтобы решить его, сгруппируем члены с \( x \) и члены с \( y \) и выделим полные квадраты.

Решение:

1. Перепишем уравнение, сгруппировав слагаемые:
   \[ (x^2 - 8x) + (y^2 + 2y) + 17 = 0 \]
2. Выделим полные квадраты. Для \( x^2 - 8x \) нам нужно добавить \( (-8/2)^2 = (-4)^2 = 16 \). Для \( y^2 + 2y \) нам нужно добавить \( (2/2)^2 = 1^2 = 1 \).
3. Чтобы не изменить уравнение, добавим и вычтем эти числа:
   \[ (x^2 - 8x + 16 - 16) + (y^2 + 2y + 1 - 1) + 17 = 0 \]
4. Теперь свернём полные квадраты:
   \[ (x - 4)^2 - 16 + (y + 1)^2 - 1 + 17 = 0 \]
5. Соберём константы:
   \[ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 - 16 - 1 + 17 = 0 \]
   \[ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 + 0 = 0 \]
   \[ (x - 4)^2 + (y + 1)^2 = 0 \]
6. Мы получили сумму двух квадратов, которая равна нулю. Квадрат любого действительного числа неотрицателен (то есть больше или равен нулю). Единственный способ, чтобы сумма двух неотрицательных чисел равнялась нулю, это если оба числа равны нулю.
   Значит, \( (x - 4)^2 = 0 \) и \( (y + 1)^2 = 0 \).
7. Из \( (x - 4)^2 = 0 \) следует, что \( x - 4 = 0 \), откуда \( x = 4 \).
8. Из \( (y + 1)^2 = 0 \) следует, что \( y + 1 = 0 \), откуда \( y = -1 \).

Ответ: x = 4, y = -1.