5. Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение четвёртого и третьего из этих чисел на 42 больше произведения первого и второго.

Задание 5. Поиск последовательных чисел

Пусть первое натуральное число будет \( n \). Тогда четыре последовательных натуральных числа будут: \( n \), \( n+1 \), \( n+2 \) и \( n+3 \).

Решение:

1. Запишем условие задачи в виде уравнения: произведение четвёртого и третьего чисел на 42 больше произведения первого и второго.
   Произведение четвёртого и третьего: \( (n+3)(n+2) \)
   Произведение первого и второго: \( n(n+1) \)
   Условие: \( (n+3)(n+2) = n(n+1) + 42 \)
2. Раскроем скобки в обеих частях уравнения:
   Левая часть: \( (n+3)(n+2) = n^2 + 2n + 3n + 6 = n^2 + 5n + 6 \)
   Правая часть: \( n(n+1) + 42 = n^2 + n + 42 \)
3. Теперь приравняем полученные выражения:
   \[ n^2 + 5n + 6 = n^2 + n + 42 \]
4. Вычтем \( n^2 \) из обеих частей уравнения:
   \[ 5n + 6 = n + 42 \]
5. Перенесём \( n \) в левую часть, а \( 6 \) — в правую:
   \[ 5n - n = 42 - 6 \]
   \[ 4n = 36 \]
6. Найдём \( n \):
   \[ n = \frac{36}{4} \]
   \[ n = 9 \]
7. Значит, первое число — 9. Найдем остальные:
   Первое число: \( n = 9 \)
   Второе число: \( n+1 = 9+1 = 10 \)
   Третье число: \( n+2 = 9+2 = 11 \)
   Четвёртое число: \( n+3 = 9+3 = 12 \)
8. Проверим условие: произведение четвёртого (12) и третьего (11) чисел равно \( 12 × 11 = 132 \). Произведение первого (9) и второго (10) чисел равно \( 9 × 10 = 90 \). Разница равна \( 132 - 90 = 42 \). Условие выполняется.

Ответ: 9, 10, 11, 12.