№6. Решите задачу. В калориметр с водой массой 400 г при температуре 15°С опустили 100 г льда при температуре 0°С. Определите установившуюся температуру в калориметре. (Своды = 4200 Дж/(кг·°С), λльда = 330 000 Дж/кг).

Решение:

Дано:

\( m_{воды} = 400 \ г = 0.4 \ кг \)

\( t_{воды, нач} = 15 \ °C \)

\( m_{льда} = 100 \ г = 0.1 \ кг \)

\( t_{льда, нач} = 0 \ °C \)

\( c_{воды} = 4200 \ \frac{Дж}{кг \cdot °C} \)

\( \lambda_{льда} = 330000 \ \frac{Дж}{кг} \)

Найти:

\( t_{уст} \ — \ \text{установившаяся температура} \ \text{(°C)} \)

Решение:

При теплообмене вода отдаст тепло, а лед получит тепло для плавления и дальнейшего нагревания.

Количество теплоты, отданное водой при охлаждении от \( 15 \ °C \) до \( t_{уст} \):

\( Q_{отд} = c_{воды} \cdot m_{воды} \cdot (t_{воды, нач} - t_{уст}) \)

Количество теплоты, полученное льдом для плавления:

\( Q_{пл} = \lambda_{льда} \cdot m_{льда} \)

Количество теплоты, полученное образовавшейся водой при нагревании от \( 0 \ °C \) до \( t_{уст} \):

\( Q_{нагр} = c_{воды} \cdot m_{льда} \cdot (t_{уст} - 0) \)

По закону сохранения энергии, количество отданной теплоты равно количеству полученной теплоты:

\( Q_{отд} = Q_{пл} + Q_{нагр} \)

\( c_{воды} \cdot m_{воды} \cdot (t_{воды, нач} - t_{уст}) = \lambda_{льда} \cdot m_{льда} + c_{воды} \cdot m_{льда} \cdot t_{уст} \)

Подставим значения:

\( 4200 \cdot 0.4 \cdot (15 - t_{уст}) = 330000 \cdot 0.1 + 4200 \cdot 0.1 \cdot t_{уст} \)

\( 1680 \cdot (15 - t_{уст}) = 33000 + 420 \cdot t_{уст} \)

\( 25200 - 1680 \cdot t_{уст} = 33000 + 420 \cdot t_{уст} \)

\( 25200 - 33000 = 420 \cdot t_{уст} + 1680 \cdot t_{уст} \)

\( -7800 = 2100 \cdot t_{уст} \)

\( t_{уст} = \frac{-7800}{2100} \)

\( t_{уст} \approx -3.71 \ °C \)

Так как полученная температура отрицательная, это означает, что не весь лёд успел растаять, и вода замерзла. Установившаяся температура будет \( 0 \ °C \), а часть воды превратится в лёд.

Пересчитаем, предполагая, что установившаяся температура \( 0 \ °C \).

Теплота, отданная водой при охлаждении до \( 0 \ °C \):

\( Q_{отд} = 4200 \ \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 0.4 \ кг \cdot (15 - 0) \ °C = 4200 \cdot 0.4 \cdot 15 = 25200 \ Дж \)

Теплота, необходимая для плавления льда:

\( Q_{пл} = 330000 \ \frac{Дж}{кг} \cdot 0.1 \ кг = 33000 \ Дж \)

Так как \( Q_{отд} < Q_{пл} \) (25200 Дж < 33000 Дж), весь лёд не растает. Следовательно, установившаяся температура будет \( 0 \ °C \), и в калориметре будет смесь льда и воды.

Ответ: Установившаяся температура в калориметре равна 0°С.